Der Optionspreis kann mithilfe einer mathematischen Formel und den sogenannten Griechen beschrieben werden, insbesondere im Kontext des Black-Scholes-Modells. Die Griechen sind die partiellen Ableitungen des Optionspreises nach den relevanten Einflussfaktoren wie Basispreis, Volatilität, Zeit bis zum Verfall, Zinssatz und Underlying-Preis.
Mathematische Formel zur Optionspreisberechnung
Das Black-Scholes-Modell berechnet den Optionspreis (für europäische Optionen) wie folgt:
Für eine Call-Option:C=S⋅N(d1)−K⋅e−r(T−t)⋅N(d2)C=S⋅N(d1)−K⋅e−r(T−t)⋅N(d2)
wobei
- SS = aktueller Kurs des Basiswerts
- KK = Strike (Ausübungspreis)
- rr = risikofreier Zinssatz
- T−tT−t = Restlaufzeit der Option
- N()N() = kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
- d1=ln(S/K)+[r+σ2/2](T−t)σT−td1=σT−tln(S/K)+[r+σ2/2](T−t)
- d2=d1−σT−td2=d1−σT−t
- σσ = Volatilität des Basiswerts
Griechen als Ableitungen des Optionspreises
Die Griechen entstehen direkt aus diesen Formeln durch partielle Ableitung nach den jeweiligen Parametern:
- Delta (ΔΔ): Ableitung nach Basiswert SS (Preisempfindlichkeit)
- Gamma (ΓΓ): Ableitung von Delta nach SS (Änderung der Preisempfindlichkeit)
- Theta (ΘΘ): Ableitung nach Zeit tt (Zeitwertverfall)
- Vega: Ableitung nach Volatilität σσ
- Rho (ρρ): Ableitung nach Zinssatz rr
Sie geben an, wie sich der Optionspreis verändert, wenn sich der jeweilige Einflussfaktor (Kurs, Zeit, Volatilität etc.) ändert. Die Griechen sind daher mathematisch gesehen die partiellen Ableitungen des Optionspreises nach seinen Parametern und stehen in direkter Beziehung zur Preisformel.
Der Optionspreis selbst lässt sich also als Funktion dieser Modellparameter ausdrücken und sein Verlauf wird entscheidend von den „Griechen“ bestimmt und beschrieben.